Carlos de La Cruz Mengual
Weizmann Institute of Science
Además de ser una estructura algebraica, un grupo finitamente generado puede dotarse de una estructura geométrica, bien sea a través de su grafo de Cayley o a través de acciones “adecuadas” del mismo sobre un espacio métrico. Así, sucede que muchas propiedades netamente algebraicas de un grupo se traducen en contrapartes geométricas, y viceversa. La fructífera interacción entre el álgebra y la geometría de un grupo dio origen al área de la matemática conocida en la actualidad como la teoría geométrica de grupos.
La noción de curvatura, central en la geometría diferencial, se manifiesta también en el mundo de los grupos. Uno de los análogos de la idea de curvatura negativa es la hiperbolicidad en el sentido de Gromov. Los grupos hiperbólicos cuentan con una gran cantidad de propiedades extraordinarias que justifican su estudio de manera contundente: por ejemplo, son finitamente presentados, admiten solución al problema de la palabra, satisfacen la alternativa de Tits, entre otros. El presente curso pretende ser una introducción a la teoría geométrica de grupos a través del estudio de esta interesante clase.
Este curso contiene 6 horas teóricas y 4 horas prácticas.
Contenido
- Introducción a la teoría geométrica de grupos (el grafo de Cayley, cuasi-isometrías, acciones geométricas, teorema de Milnor–Švarc).
- Crecimiento de grupos (polinómico vs. exponencial, grupos virtualmente nilpotentes, teorema de Gromov, grupos amenables).
- Espacios y grupos Gromov-hiperbólicos (definición y ejemplos, el espacio hiperbólico real, el problema de la palabra).
- Frontera y bordes de un grupo hiperbólico.
- Acciones de convergencia, y la caracterización topológica de Bowditch.
Referencias
- C. Löh. Geometric group theory. An introduction. Universitext. Springer, Cham, 2017.
- M. Bridson, A. Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999.
- C. Drutu, M. Kapovich. Geometric group theory. American Mathematical Society Colloquium Publications, 63. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018.
- B. Bowditch. A topological characterisation of hyperbolic groups. J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), no. 3, 643-667.