Mié. Sep 28th, 2022

Teorías de Galois para ecuaciones diferenciales y en diferencia e hipertrascendencia

Carlos E. Arreche
University of Texas at Dallas

Este curso abordará varias teorías de Galois distintas pero interrelacionadas asociadas a ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias y sus aplicaciones a preguntas de trascendencia sobre las soluciones de las ecuaciones. El curso comenzará con un tratamiento de la teoría clásica de Picard-Vessiot de Kolchin, con el objetivo de comprender rápidamente diferentes puntos de vista equivalentes y los principales resultados. Luego discutiremos la teoría análoga de Picard-Vessiot para ecuaciones en diferencias, y algunos ejemplos principales de operadores en diferencias que surgen en la práctica (desplazamiento, dilatación q, Mahler, elíptica …). Luego discutiremos la teoría de Picard-Vessiot parametrizada más reciente y la teoría diferencial de Galois para ecuaciones en diferencias, en analogía con las teorías anteriores. Estas discusiones teóricas serán ilustradas a través de muchos ejemplos y ejercicios destinados a hacerlas lo más concretas posible. El curso comprende 6 horas teóricas y 4 horas de ejercicios.

El contenido del curso es el siguiente

  1. Anillos diferenciales y cuerpos diferenciales; ecuaciones diferenciales lineales (forma escalar y forma matricial); extensiones diferenciales de Picard-Vessiot; grupos algebraicos y teoría de Galois diferencial; ejercicios y ejemplos.
  2. Anillos diferenciales y anillos de diferencias; ecuaciones en diferencias lineales (forma escalar y forma matricial); extensiones en diferencias de Picard-Vessiot; teoría de Galois de diferencias; ejercicios y ejemplos.
  3. Grupos diferenciales algebraicos; teoría de Galois diferencial paramétrica; teoría de Galois para ecuaciones en diferencias; análisis de trascendencia e hiper-trascendencia mediante teoría de Galois; ejercicios y ejemplos.

Referencias bibliográficas

  1. T. Crespo and Z. Hajto, Algebraic Groups and Differential Galois Theory, Graduate Studies in Mathematics 122, American Mathematical Society, Provience, R.I., 2011.
  2. C. Hardouin, J. Sauloy, M.F. Singer, Galois Theories of Linear Difference Equations: An Introduction, Mathematical Surveys and Monographs 211, American Mathematical Society, Providence, R.I., 2016.
  3. M. van der Put and M.F. Singer, Differential Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 328, Springer, New York, 2003.
  4. M. van der Put and M.F. Singer, Galois theory of difference equations, Lecture Notes in Mathematics 1666, Springer-Verlag, Berlin, 1997.