Carlos E. Arreche
University of Texas at Dallas
Este curso abordará varias teorías de Galois distintas pero interrelacionadas asociadas a ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias y sus aplicaciones a preguntas de trascendencia sobre las soluciones de las ecuaciones. El curso comenzará con un tratamiento de la teoría clásica de Picard-Vessiot de Kolchin, con el objetivo de comprender rápidamente diferentes puntos de vista equivalentes y los principales resultados. Luego discutiremos la teoría análoga de Picard-Vessiot para ecuaciones en diferencias, y algunos ejemplos principales de operadores en diferencias que surgen en la práctica (desplazamiento, dilatación q, Mahler, elíptica …). Luego discutiremos la teoría de Picard-Vessiot parametrizada más reciente y la teoría diferencial de Galois para ecuaciones en diferencias, en analogía con las teorías anteriores. Estas discusiones teóricas serán ilustradas a través de muchos ejemplos y ejercicios destinados a hacerlas lo más concretas posible. El curso comprende 6 horas teóricas y 4 horas de ejercicios.
El contenido del curso es el siguiente
- Anillos diferenciales y cuerpos diferenciales; ecuaciones diferenciales lineales (forma escalar y forma matricial); extensiones diferenciales de Picard-Vessiot; grupos algebraicos y teoría de Galois diferencial; ejercicios y ejemplos.
- Anillos diferenciales y anillos de diferencias; ecuaciones en diferencias lineales (forma escalar y forma matricial); extensiones en diferencias de Picard-Vessiot; teoría de Galois de diferencias; ejercicios y ejemplos.
- Grupos diferenciales algebraicos; teoría de Galois diferencial paramétrica; teoría de Galois para ecuaciones en diferencias; análisis de trascendencia e hiper-trascendencia mediante teoría de Galois; ejercicios y ejemplos.
Referencias bibliográficas
- T. Crespo and Z. Hajto, Algebraic Groups and Differential Galois Theory, Graduate Studies in Mathematics 122, American Mathematical Society, Provience, R.I., 2011.
- C. Hardouin, J. Sauloy, M.F. Singer, Galois Theories of Linear Difference Equations: An Introduction, Mathematical Surveys and Monographs 211, American Mathematical Society, Providence, R.I., 2016.
- M. van der Put and M.F. Singer, Differential Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 328, Springer, New York, 2003.
- M. van der Put and M.F. Singer, Galois theory of difference equations, Lecture Notes in Mathematics 1666, Springer-Verlag, Berlin, 1997.