Josué Meléndez Sánchez
Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa.
Como objetivo principal de este curso se plantea el reconocer la relación entre un sistema dinámico y su geometría subyacente, así como también identificar problemas y ejemplos dentro de los sistemas dinámicos, para emplear algunas técnicas geométricas en el estudio de los mismos.
En este curso consideraremos sistemas dinámicos continuos definidos por una ecuación diferencial.
CONTENIDO
- Introducción a los sistemas dinámicos.
- Conceptos: Campos vectoriales, flujo, espacio fase, tipos de estabilidad, tipos de puntos de equilibrio.
- Teorema de existencia y unicidad. Linealización.
- Teorema del criterio de Bendixson. Conjuntos invariantes. Funciones de Lyapunov. Teorema de Poincaré – Bendixson.
- Variedades riemannianas.
- Variedades diferenciales. Estructura geométrica del fibrado tangente y el fibrado cotangente. Campos vectoriales y sus propiedades.
- Métrica riemanniana.
- Ejemplos: Superficies en $\mathbb{R}^3$, métrica producto, plano hiperbólico.3. Aspectos geométricos subyacentes a la mecánica lagrangiana
- Aspectos geométricos subyacentes a la mecánica lagrangiana
- Introducción a la mecánica lagrangiana.
- Ecuaciones de las geodésicas y símbolos de Christoffel de variedades riemannianas.
- Problemas y ejemplos.
- La métrica de Jacobi-Maupertuis y su relación con la geometría.
- Derivada covariante, conexión de Levi-Civita.
- La métrica de Jacobi-Maupertuis.
- Teorema de Jacobi.
- Aplicación a la mecánica celeste.
- Reducción del espacio. Espacios cociente.
- Submersiones riemannianas.
- Problema de 3 cuerpos en el plano.
Bibliografía
- Arnold, Vladimir, Mathematical methods of classical mechanics, Springer.
- Godinho, Leonor and Natário, José, An introduction to Riemannian geometry, with applications to mechanics and relativity, Springer.
- Holm, Darryl and Schmah, Tanya and Stoica, Cristina, Geometric mechanics and symmetry, Oxford University Press.
- Meyer, Kenneth and Offin, Daniel, Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer.
- Wiggins, Stephen, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Second, Springer.
Evaluación: Consistirá de cuatro mini-series de ejercicios que el profesor encargado del curso entregará cada día al finalizar la clase. Los estudiantes deben entregar las respectivas soluciones el último día del curso.