Mié. Sep 28th, 2022

Métodos Geométricos en Sistemas Dinámicos

Josué Meléndez Sánchez
Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa.

Como objetivo principal de este curso se plantea el reconocer la relación entre un sistema dinámico y su geometría subyacente, así como también identificar problemas y ejemplos dentro de los sistemas dinámicos, para emplear algunas técnicas geométricas en el estudio de los mismos.

En este curso consideraremos sistemas dinámicos continuos definidos por una ecuación diferencial.

CONTENIDO

  1. Introducción a los sistemas dinámicos.
    • Conceptos: Campos vectoriales, flujo, espacio fase, tipos de estabilidad, tipos de puntos de equilibrio.
    • Teorema de existencia y unicidad. Linealización.
    • Teorema del criterio de Bendixson. Conjuntos invariantes. Funciones de Lyapunov. Teorema de Poincaré – Bendixson.
  2. Variedades riemannianas.
    • Variedades diferenciales. Estructura geométrica del fibrado tangente y el fibrado cotangente. Campos vectoriales y sus propiedades.
    • Métrica riemanniana.
    • Ejemplos: Superficies en $\mathbb{R}^3$, métrica producto, plano hiperbólico.3. Aspectos geométricos subyacentes a la mecánica lagrangiana
  3. Aspectos geométricos subyacentes a la mecánica lagrangiana
    • Introducción a la mecánica lagrangiana.
    • Ecuaciones de las geodésicas y símbolos de Christoffel de variedades riemannianas.
    • Problemas y ejemplos.
  4. La métrica de Jacobi-Maupertuis y su relación con la geometría.
    • Derivada covariante, conexión de Levi-Civita.
    • La métrica de Jacobi-Maupertuis.
    • Teorema de Jacobi.
  5. Aplicación a la mecánica celeste.
    • Reducción del espacio. Espacios cociente.
    • Submersiones riemannianas.
    • Problema de 3 cuerpos en el plano.

Bibliografía

  1. Arnold, Vladimir, Mathematical methods of classical mechanics, Springer.
  2. Godinho, Leonor and Natário, José, An introduction to Riemannian geometry, with applications to mechanics and relativity, Springer.
  3. Holm, Darryl and Schmah, Tanya and Stoica, Cristina, Geometric mechanics and symmetry, Oxford University Press.
  4. Meyer, Kenneth and Offin, Daniel, Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer.
  5. Wiggins, Stephen, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Second, Springer.

Evaluación: Consistirá de cuatro mini-series de ejercicios que el profesor encargado del curso entregará cada día al finalizar la clase. Los estudiantes deben entregar las respectivas soluciones el último día del curso.